什么是亲和数？

是否有无穷多对亲和数?

什么是亲和数呢?亲和数是这样一对正整数a和b,使得a的所有真因子的和等于b,而b的所有真因子的和等于a.

亲和数问题最早曾被毕达哥拉斯学派研究过,他们给出了第一对亲和数:284和220.284=2^2*71,284的所有真因子为1,2,4,71,142,和为1+2+4+71+142=220.220=2^2*5*11,其全部真因子为1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,和为

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.

后来的两千年内虽然对亲和数的研究有过有意义的工作,但是一直没有发现新的亲和数.难道亲和数对是唯一的?这一问题由于1636年费马给出另一对亲和数:17296和18416才有了答案.1638年笛卡尔给出了第三对亲和数.对亲和数作过研究的又一位著名数学家是欧拉.他在1747年前后给出了一个62对亲和数的亲和数表.令人意想不到的是1866年一位意大利16岁的少年帕格尼尼(Paganini)发现了一对比较小的亲和数:1184和1210.如果把亲和数对按从小到大的顺序排列的话,那么这位少年发现的这对亲和数排在第二位.目前我们已经知道有1000多对亲和数,而在10000以内只有5对,在100000以内有13对,它们是:220和284、1184和1210、2620和2924、5020和5564、6232和6368、10744和10856、12285和14595、17296和18416、63020和76084、66928和66992、67095和71145、69615和87633、79750和88730.在这13对亲和数中,要么是偶数对,要么是奇数对,没有一奇一偶的数对,而且偶数对比较多,在这13对中奇数对的只有3对.亲和数对的一般性质我们知道的极少,更没有什么公式可使我们依照它来求得亲和数.我们现在求亲和数的方法是用计算机.用计算机可以很容易找出亲和数,首先求出数m的所有真因子,将这些真因子求和,这个和记为n,然后求出数n的所有真因子,将这些真因子同样求和,如果所得的和恰好为m，则m;n为一对亲和数.否则,m;n就不是亲和数对.20世纪60年代,美国耶鲁大学的专家在IBM7094计算机上,对全部100万以下的数进行了这种检查,结果发现了42对亲和数,其中有些是过去已经知道的,也有新的.用这种方法对100万以上的数可进行同样的检查.用计算机求亲和数对比过去用手工和数论技巧来发现要高效的多,但是不管检查到多大的数为止,总之是在有限数的范围内进行,最后只能知道在一定范围内亲和数的情况.大家知道数有无穷多,在无穷多个数中,全部有多少对亲和数?用计算机检查这一方法是不能解决这一问题的.所以,关于亲和数我们的问题是:亲和数对是有限的,还是无限的?有没有奇数和偶数构成的亲和数对?亲和数对有什么一般的性质?等等.

--------本文完---------

注：本文选自《数学的100个基本问题》.

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